Если машина звучит хорошо и работает на холостом ходу, но при включении передачи движется медленно, пока не заглохнет, может ли это быть проблемой трансмиссии?

Да, это явный признак проблемы с передачей. Если двигатель работает нормально на холостом ходу, но автомобиль с трудом движется или глохнет при включении передачи, трансмиссия неправильно передает мощность двигателя на колеса. Это может быть связано с различными проблемами в трансмиссии, такими как низкий уровень жидкости, неисправное сцепление (в механических трансмиссиях), изношенные внутренние компоненты или серьезная внутренняя неисправность. Вам следует поручить квалифицированному механику диагностировать конкретную проблему.